舍利弗已阐明了理想水系网络的很有价值的概率分布状况：(1)对于一个无限的拓扑随机网络中的河流，在随机状况下有关斯川勒等级序列w的概率服从于：

　　S(w)=3/4w，W=1，2，… (7.19)

　　(2)河道等级w随机连结的期望大小为：

　　Ew(μ)=(22w-1 1)/3，w=1，2，… (7.20)

　　(3)在等级为w的河流中所期望的河节数目为：

　　应用上述各类表达式，现在有可能把Horton定律中有关河道数目的规定，重写为以下形式：从一个有限的拓扑随机网络中，取得斯川勒河流体系的随机样本，将产生出对于连续等级河流比率的期望值，当样本数目趋向于无限大时，该比率的期望值将收敛于4：

　　不言而喻，nw表示着等级为w的河流数目。

　　总括以上论述，我们比较详细地分析了Horton定律中有关河流数目的随机拓扑研究。接着，我们当然很有兴趣触及有关河长和河节长度的性质。河节长度与河流长度的分布函数，是具有更大和更深刻的理论研究课题。在过去10余年中，受到许多地理学家们的重视。基于一种随机步行模拟理论，利奥波德、朗拜因(Leopold，Langbein)和斯玛特(Smart)等人曾得到一个结论，说明网络的“外部河节长度”，具有一种几何的分布。以后的研究工作不仅支持了他们的结论，还阐明了河流水系网络的内部河节长度，也符合于该项原则。如果从这种随机步行原则转移到一个真实的客观地理空间时，人们即可预测出自然水系网络河节长度为一种指数分布。尽管拟合检验证实了这种模型在美国密苏里河的两个小流域中是理想的，但是进一步的研究仍然暴露出一些很不容易解决的困难。在搜集支持这种指数模式的野外证据中，地理学家们曾经建议：根据在美国肯塔基州东部均匀分布的砂岩地质基础上，大约30个水系网络的实际测量结果，认为应用一个称为伽玛密度的指标，可能比使用指数模型更为合适一些。不久，克鲁宾和詹姆士(KrumbeinandJames)分析了相同水系网络中的小尺度拓扑性质，并且获得了一个阐述河节长度分布特征的模式。该模式综合了3个伽玛密度指标，其中的每一个均由它所对应的概率并加以权重后获得：

　　式中fct(x)为河节长度的分布频率，C表示顺式河节(cis，水系网络内部河节标志的形式)，t表示反式河节(trans)，如图7-16所示。

　　这就是说，沿着主河道和支流所划分的内部河节，按照其交汇的格式，可归纳成两大类：其一，倘若从河节两端所进入的支流为同一侧时，该河节被规定为顺式河节；其二，倘若由河节两端所进入的支流为不同侧时，该河节被规定为反式河节。

　　度的倒数。计算证明，β相当于在指数分布模式中的相应参数。在上述方程内，由于很短河节的资料缺乏而致使拟合本身并不十分满意。一个可能的解释就是，在地面上所能测量出来的最小河节长度，约只为60米(合200英尺)，再短就无法估算了。另外一个可能的解释则是排除了不同侧支流的互相作用以及由此种作用所产生的效应。对于以上的这些推测，大多数的研究者们假定：内部河节长度，对于一个共同的密度而言为独立的随机变量。把此种假设同拓扑随机假设结合在一起，斯玛特得到了一个预测指标Lw(表示在等级w的斯川勒体系中的平均河长)的表达式，而且证明了它要比通常只使用Horton定律本身而不作任何调节时所进行的河长预测，更为准确一些。斯玛特表达式的推导，可以参考他在1968年所发表的研究成果。
　　本文标题：河系网络的拓扑分析(4)
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