（2）从所拟定的生产矩阵中，还可以获得关于流的测度。对于一个处于稳定态的系统来说，流的测度可使用平均路长标识（meanpathlength）。平均路长等于系统的总流被生产矩阵中的流入总计或者流出总计相除的结果。在以上所举的例子中，可以得出其平均路长为：

　　（3.15×107）÷（3.10×107）=1.00259

　　这个平均路长趋向于随着系统内状态变量数目的增加而增加，也随着系统的较大总流值而增加，当然还随着更多的反馈作用而增加。

　　以上两点十分明白地显示出，投入—产出的流分析原则，当进行系统之间的比较时，可用所计算出的循环效率和平均路长这两个指标进行衡量。此外，进行更加深入的投入—产出流分析，要求在生产矩阵中作某些数值的运算，它同时包括了流入的分析和流出的分析这两个方面。现在，首先考虑流入的分析，因为对于流出的分析程序，与流入分析是完全相同的。

　　流入分析的第一阶段，为分流矩阵的建造。此处设计符号Q′表示这个分流矩阵，并参照表4—4。

　　这个矩阵中的诸元素，表达了从一个状态变量（xj）到另一个状态变量（xi）的流入，并且作为那个特定状态变量的总流（注意，这里并不是指系统的总流）当中的一部分，即以它的某个比例而出现的。这样，在表4—4当中，于Q′14的位置即F10列的第一行，有一个数值1。它意味着对于草类状态变量的流入为3.1×107焦

　　耳/平方米·年，当其与该状态变量x1的流总量相除之后，即可得到1这个数值（即｛3.1×107焦耳/平方米·年｝÷｛3.1×107焦耳/平方米·年｝=1.0）由此，分流矩阵Q′中的各个元素，要么是1，要么是0。这当然只适用于相对比较简单的系统，如果所处理的系统十分复杂，那么分流矩阵Q′的元素，也会显现出小数的情形。

　　在流入分析的第二个阶段，要对于所列的分流矩阵进行必要的调整。此时，该分流矩阵Q′要被一个同一矩阵I相减，该同一矩阵与Q′分流矩阵一样，也具有4×4阶，并且规定为：

　　即所有处于主对角线位置上的元素，给定数值1，其余位置的元素给定数值0。依照所作出的规定，可望得到一个新的矩阵（I—Q′），我们将它列在表4－5中，读者可以把它与表4－4对照起来看，就会发现二者之间的关系：

　　而后，将取矩阵（I—Q′）的倒数，即（I—Q′）-1，并且把这个倒数的矩阵称为转换集中流入矩阵，也可以把这个矩阵（I—Q′）-1列入表4－6。注意，这里矩阵倒数的算法可以参考矩阵运算规则。

　　这个转换集中流入矩阵的行总计，被定名为“流出路长”，该矩阵中的各个元素，代表了在该系统中全部直接的和间接的流。

　　把上述集中流入矩阵（I—Q′）-1乘以表4—3的生产矩阵的流出行，即可产生出一个总流矩阵T，（表4—7）。这个总流矩阵T在同生产矩阵联系起来以后，可以很方便地对系统中的流作出解释。

　　从草类状态变量流出的能量为3.13×107焦耳/平方米·年，这就要求每年每平方米至少应该有这么多的能量，要对草类子系统进行流入贡献，从生产矩阵所输入的能量总值为3.14×107焦耳/平方米·年。再从鼠类状态变量所流出的能量为8.0×104焦耳/平方米·年，也要求F10中的数值与之相同，并可以看成是对草类状态变量和鼠类状态变量二者的总流贡献。而从狼类状态变量的0.36×103焦耳/平方米·年流出，要求从F10中有同样数值的体现，看成是对于草类子系统、鼠类子系统和狼类子系统这三者总流中的每一个，都贡献了0.36×103焦耳/平方米·年。
　　本文标题：“投入—产出”流分析(2)
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