达。

　　在图11-19中，(a)表明了一个变量与一个参数之间的一一对应关系；而在(b)中则表示了多重对应关系，此时，所形成的关系成为折叠状的，在u1=u1′和u1=u1″之间，相应于任何一个u1值，将有可能得到3个x1的值，而突变论的基本兴趣恰好处于这种情形之中。

图11-19 二维空间内的E(x,u)

　　变，然而在E(x，u)这个响应面呈现折叠的状况下，当接近某种临界值区域时，随着u的平稳改变，就有可能发生一种离散的跳跃，于是实现了连续过程内的突变行为。托姆关于7种基本的突变模型中的每一个，都由一些外部变量和函数E的形式加以区分。

表11-17种基本的突变模型

　　习惯上，可以采用多项式函数进行数学上的解析，这些我们还将在下面的阐述中加以体现。它们的共同特征是：突变的形式，严格地取决于控制变量的数目和状态变量的数目。

　　为了帮助读者明了突变论的基本思想，首先可以对折叠型的突变函数进行比较详细的讨论，因为它在托姆的研究成果中，居于第一位并且是最简单的一类，它仅仅只带有一个控制变量和一个状态变量。其势函数E(x，u)为：

　　当系统中的E处于最大值或最小值时，应服从于：

　　这样，解出的

　　在这些点上，

　　由于当x1为正值时函数亦为正，则前式中的正根为E的极小值；与此相反，前式中的负根为E的极大值。当然，只有当u1≤0时式子才成立。

　　将上述的推导表示在图11-20上。

图11-20，折叠型突变的表达

　　半（用实线表示)表示最小值，因而是稳定的点；而下部的一半(用虚线表示)表示最大值，因而是不稳定的点。

　　倘若u1从某个负值平滑地改变，则x1将不断的衰减。随着u1→0，x1将以更大的增长速率衰减。随着u1通过0并取一个正值时，状态变量x消失。在实际情形中，此时将意味着状态的一种跳跃或飞升。

　　至于托姆的第二种突变模型，我们称之为尖点型突变，它表述了求解如下方程的最小值：

　　显然它针对一个状态变量x1和两个控制变量u1及u2。E函数的稳定值被解析为：
　　本文标题：CatastropheTheory(突变论)(2)
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