海水的各种运动都是在力的作用下产生的，其运动规律同其它物体的运动规律一样，遵循牛顿运动定律和质量守恒定律。为达到定量地研究海水运动规律，以下将简要地介绍一下海水的运动方程、连续方程以及求解方程的边界条件等。
5.2.1运动方程
所谓海水运动方程，实际上就是牛顿第二运动定律在海洋中的具体应用。单位质量海水的运动方程可以写成
在直角坐标系统中，它的三个分量方程为
式中u，v，w分别为x，y，z方向上的流速分量，∑Fx，∑Fy，∑Fz分别为x，y，z方向上单位质量海水所受到作用力的合力。显然，只要给出这些力，应用式(5—2)便可了解海水的运动状况。
作用在海水上的力有多种，归结起来可分为两大类：一是引起海水运动的力，诸如重力、压强梯度力、风应力、引潮力等；另一类是由于海水运动后所派生出来的力，如地转偏向力(CoriolisForce，亦称为科氏力)、摩擦力等。以下首先对海水所受各种力加以分析，并给出其解析表达式。
一、重力、重力位势
地球上任何物体都受重力的作用，当然海水也不例外。所谓重力是地心引力与地球自转所产生的惯性离心力的合力。习惯上人们将单位质量物体所
深度z的函数。其表达式为
据此计算，海面上从赤道到极地重力加速度之差仅为0.052m/s2，在=45°处，海面与10km深处的重力加速度之差约为0.031m/s2。因此在海洋研究中，一般把g视为常量，取为9.80m/s2，已可满足要求。
对于静态的海洋，重力处处与海面垂直，此时的海面称为海平面。处处与重力垂直的面也称为水平面。从一个水平面逆重力方向移动单位物体到某一高度所做的功叫做重力位势，即
式中dΦ为所做的功，dz为物体铅直移动的距离。联结位势相等的面称为等势面。静态海洋的表面是一个等势面。
在海洋学中，两个等势面之间的位势差常以位势米(gpm)为单位表示，其定义为
式中g=9.8m/s2，dz的单位为米(m)。从上等势面向下计算的位势差称为位势深度。反之，从下等势面向上计算的位势差称位势高度。
由式(5—4)可见，两等势面的位势差，如果以位势米表示，则其量值恰与以几何米所表示的高度(深度)值相等，这在海洋学动力计算过程中是十分方便的。依S1建议，以往使用的动力米、动力高度(深度)应予废止。
需要指出的是，由于g值是纬度与深度的函数，因此按式(5—4)计算出来的位势，严格说与几何米在量值上并不绝对相等，但由于g值的变化很小，其精确度还是相当高的。
二、压强梯度力、海洋压力场
海洋中压力处处相等的面称为等压面。海洋学中把海面视为海压为零的等压面(以往称为一个大气压，平均为1013.25hPa)。
在右手直角坐标系中，坐标原点取在海面，z轴向上为正，那么海面以下-z深度上的压力则为
式中ρ为海水密度。写成微分形式则有
此方程称为流体静力学方程。
在静态的海洋中，当海水密度为常数或者只是深度的函数时，海洋中压力的变化也只是深度的函数，此时海洋中的等压面必然是水平的，即与等势面平行。这种压力场称为正压场。
根据牛顿运动定律，当海水静止时，水质点所受到的合力必然为零。但海水却总是处在重力的作用之下，且指向下方。由此可以推断，一定还存在一个与重力方向相反的，与重力量值相等的力与其平衡。由式(5-6)知，该力为
它与压强梯度成比例，故称其为压强梯度力。它与等压面垂直，且指向压力
量而言。图5—1a表示了正压场中压强梯度力与重力平衡的情况。
当海水密度不为常数，特别在水平方向上存在明显差异时(或者由于外部的原因)，此时等压面相对于等势面将会发生倾斜，这种压力场称为斜压场。如图5—1b所示。
在斜压场的情况下，海水质点所受的重力与压强梯度力已不能平衡，由于等压面的倾斜方向是任意的，所以压强梯度力一般与重力方向不在同一直线上。其一般表达式为
式中n为等压面的法线方向。写成分量形式，即压强梯度力在x，y，z三个方向上的分量分别为
因为海洋常常处在斜压状态，所以压强梯度力水平分量也就经常存在。尽管它的量级很小，大约相当于一个无摩擦的物体于坡度为1cm：1km的斜面上向下滑动所受的力，但由于海水本身是流体，在水平方向上极小的力也会引起流动，它因之成了引起海水运动的重要作用力。
可以证明，海水质点所受的压强梯度力的广义定义就是单位质量海水所受静压力的合力。由式(5—6)知，两等压面之间的铅直距离为
显然它与海水密度成反比。此即说明在两等压面之间海水密度越大，则铅直距离越小；反之亦成立。因此，当海水密度在水平方向上存在明显差异时，必然导致两等压面之间的距离不等，使其相对于等势面而发生倾斜。这种由海洋中密度差异所形成的斜压状态，称为内压场。因为海洋上部的海水密度在水平方向上变化较大，而在大洋深处变化极小，甚至趋于均匀，因而由其决定的压力场，即内压场，在大洋上部的斜压性一般很强，随深度的增加斜压性逐渐变弱，到大洋某一深度处，等压面基本上与等势面平行，其水平压强梯度力也就不存在了。
由于海洋外部原因，例如海面上的风、降水、江河径流等因子引起海面倾斜所产生的压力场称为外压场。在外压场的作用下，等压面也可倾斜于等势面，因而也能使海水产生流动。外压场自海面到海底叠加在内压场之上，一起称为总压场。
压力的单位采用百帕(hPa)或千帕(kPa)。在SI单位制中，利用公式dp=-pgdz计算压力的单位是牛顿每平方米(N/m2)，相当于100hPa。若以百帕为单位，则有
取dz＝lm，g=9.8m/s2，ρ=1026.8kg/m3，则
dp=100.6hPa
可见1几何米深的海水所产生的压力近似为100hPa
联合式(5—10)与式(5—4)，则有
dp=0.098ρdΦ (5—11)
或 dΦ=1.02αdp
式中α为海水的比容。以上两式给出了海洋中重力场、压力场与质量场的关系。
三、地转偏向力(科氏力，CoriolisForce)
研究地球上海水或者大气的大规模运动时，必须考虑地球自转效应，或称为科氏效应。
人们把参考坐标取在固定的地表，由于地球不停地在以平均角速度ω=7.292×10-5rad/s绕轴线自西向东自转，参考坐标系也在不断地旋转，因此它是一个非惯性系统。在研究海水运动时，必须引进由于地球自转所产生的惯性力，方能直接应用牛顿运动定律作为工具，从而阐明其运动规律。这个力即称为地转偏向力或称科氏力。
为进一步理解地转效应，现加以定性说明。由于地球绕轴自转，在赤道处的地面便具有约464m/s自西向东的线速度，向两极方向随纬度的增高逐渐减小，在纬度30°处约为402m/s，60°处约为232m/s，两极为零。假定有一物体从赤道沿经圈向高纬(向南或者向北)运动，由于保持其在赤道所具有的较大自西向东的线速度，因此，地面上的观察者会看到，它的运动轨道相对原来的经圈不断向东偏移。在从高纬向赤道沿经圈方向运动的过程中，由于保持其在高纬处所具有的较小的自西向东的线速度，因此其运动轨道不断地偏向西。在讨论海水运动时，把上述现象的原因视为由科氏力引起的。
当物体沿纬圈作东西方向运动时，也要受到科氏力的影响。除赤道上之外，沿纬圈向东运动的物体，其运动轨道向赤道方向偏移，而向西运动物体的轨道则向高纬方向偏移。为理解这种偏移的原因，让我们首先考虑一个被海水覆盖旋转的地球。海水被重力吸引在地面上，但由于地转所产生的惯性离心力使其稍有变形。在两极稍为扁平，在赤道处稍为膨胀，与地球各纬度的自转速度处在平衡状态中。
不妨把水面的这种变形理解为是一种由两极指向赤道方向的力引起的。它是由于地球绕轴旋转时所产生的惯性离心力从两极至赤道逐渐增大所致。它指向惯性离心力增大的方向。
由于地球向东旋转，这样在地球上向东运动的水质点，其线速度要比地球的旋转线速度快一点，这一速度增量使作用在水质点上的惯性离心力增大。水质点将要受一个指向赤道方向的力，使其在运动过程中的轨道不断偏移。
反之，当水质点向西运动时，其线速度将比地球的稍慢一点，这一负增量使作用于水质点上的惯性离心力减小，导致水质点向极方向的一个力。
以上讨论的不过是几种特例。实际上由于地球自转所产生的惯性力是三维的。取x－y平面在海面上，x轴指向东为正，y轴指向北为正，z轴向上为正，科氏力的三个分量为
式中ω为地球自转角速度，在海洋中，由于海水的铅直运动分量ω很小，故通常忽略与ω有关的项，即简化为
科氏力的基本性质为：只有当物体相对地球运动时才会产生；如果人们沿物体运动的方向看，在北半球它垂直指向物体运动的右方，在南半球恰恰相反，即指向左方；科氏力只能改变物体的运动方向，而不能改变物体运动
例，在赤道上为零。
对海洋环流而言，科氏力与引起海水运动的一些力，如压强梯度力相比量级相当，因此它是研究海洋环流时应考虑的基本力。
如研究的海区纬度跨度不大，此时科氏参量f可视为常量。f为常数的平面称为“f—平面”；当研究大范围的海水运动时，必须考虑科氏力随纬
四、切应力
切应力是当两层流体作相对运动时，由于分子粘滞性，在其界面上产生的一种切向作用力。它与垂直两层流体界面方向上的速度梯度成正比。因此，当两层流体以相同的速度运动或者处在静止状态时，是不会产生切应力的。单位面积上所产生的切应力为
式中n为界面法线方向，μ为分子粘滞系数，它的量值与流体的性质有关，例如油的粘滞系数就比水的大。
海面上的风与海水之间的切应力，称为海面风应力，它能将大气动量输送给海水，是大气向海洋输送动量的重要方式之一。风应力目前只能以经验公式给出。
式中ρa为海面以上空气的密度，一般取1.225kg/m3；Wa为观测高度上的风速；Ca为阻尼系数(拖曳系数)，它与海面上气流的运动状态有关。在讨论海洋与大气之间的动量交换时，阻尼系数Ca的确定常常因人而异。目前在数值计算中，只能依经验取值，不过在量级上差异不大。
为说明方便起见，在右手坐标系中，取边长δx，δy，δz的一块小立方体的海水(图5—2)，设海水只沿x方向运动，且只在z方向上存在
零。其上方的面上所受切应力的方向为正x方向，设其量值为τ2；下方面上所受切应力的方向为负x方向，其量值为τ1。则上、下两面所受的总应力为(τ2-τ1)δxδy。那么单位体积海水所受的合力为
将式(5—14)中切应力的表达式代入，并取微分形式则为
此即为单位体积海水在x方向上所受到的切应力之合力的表达式。取分子粘滞系数为常量，由式(5—15)，单位质量海水的切应力为
实际海洋中的海水运动总是处于湍流状态。由湍流运动所导致的运动学湍流应力比分子粘性引起的分子粘性应力大很多量级。
在讨论海水运动时，类比式(5—15)与(5－16)的形式，将分子粘滞系数μ以湍流粘滞系数K代替。但μ与K的物理意义不同，μ只取决于海水的性质，K则与海水的湍流运动状态有关，其量级大于μ，且自身在各个方向的量值也有很大差异。故一般取式(5—15)的形式。
以上仅讨论了一种很特殊情况下海水所受切应力合力的形式。若同时考虑海水在各方向的速度梯度，则单位质量海水所受应力合力的三个分量表达式可分别写为
在海洋中，由于海水在水平方向的运动尺度比铅直方向上的大得多，所以水平方向上的湍流粘滞系数Kx与Ky比铅直方向上的Kz也大得多。但鉴于海洋要素的水平梯度远小于铅直梯度，因此铅直方向上的湍流对海洋中的热量、动量及质量的交换起着更重要的作用。
五、引潮力及其它
引潮力是日、月等天体对地球的引力以及它们之间作相对运动时所产生的其它的力共同合成的一种力。它能引起海面的升降与海水在水平方向上的周期性流动。关于引潮力的确切定义、产生的机理及其解析表达式等，将在第七章中介绍。
另外，引起海水运动的力还可以来自火山爆发和地震等。
以上分别讨论了海水运动所受的力及其表示形式，将它们分别代入式(5—2)中，则有
这就是直角坐标中海水运动方程的具体形式，在讨论海水的不同运动形式时，经常从实际情况出发对方程加以简化，以便求解。
5.2.2连续方程
所谓连续方程实质上是物理学中的质量守恒定律在流体中的应用。即流体在运动过程中，它的总质量既不会自行产生，也不会自行消失。由此导出连续方程。
在流动的流体中取边长分别为δx，δy，δz的小立方体空间(图5—3)，首先考虑平行x轴的流动。小立方体的左边流速为u，密度为ρ；在
单位时间流入小立方体的质量为
ρuδyδz
单位时间流出的质量为
当取极限δx→0时，上式方括号内的最后一项的量级与前两项相比可视为无穷小，可以忽略，这样，在x方向上流出与流入的差是
同理可以得到流体在y和z方向上流出与流入的差分别为
因而，由流出或流入引起小立方体内质量的总净变化是
小立方体δxδyδz内质量随时间的变化可写为
如果其质量守恒，则总效应必定为零，也就是说单位体积内质量的变化可写成
由于流体的密度ρ=ρ(x，y，z，t)，因此随流体运动的密度变化率为
联合式(5—19)与(5—20)得
这就是质量连续方程。它描述了质量变化与体积变化之间的关系。
由于我们在推导方程时并未假定流体密度处处相等，这对应用于海洋中是很重要的。因为海水受压力效应与热力效应影响，其密度(或者体积)是可改变的，但不能增加海水的质量。
在动力海洋学研究中，常把海水作为不可压缩流体处理，即在流动过程中海水微团的形状可以变化，但其体积不会发生变化，从而海水的密度(质量)不会发生变化，即dρ/dt=0，因而式(5－21)被简化为
式(5—22)已与流体的密度(质量)无关，因此也称为体积连续方程。
5.2.3边界条件
研究海洋环流时，通常考虑以下几种边界，一种是海岸与海底的固体边界，一种是与大气之间的流体边界，它们构成与海水之间的不连续面，因此，在运用运动方程和连续方程讨论海水的运动时，在边界上应附以边界条件。例如在海岸与海底，由于它们的限制，海水垂直于边界的运动速度必然为零，至多只能存在与边界相切的速度。实际上，由于海水与海底的摩擦作用，离边界越近的海水运动速度应该越小，在边界上的运动速度理论上也应当为零。这些规定边界上海水运动速度所遵循的条件称为运动学边界条件。在大气和海洋交界面(海面)处的运动学边界条件为
其中ζ为海面相对于平均海平面的起伏。
在海—气界面这一海面边界上，大气压力、风应力等，直接作用于海面，然后通过海面影响下部海水。这些规定边界上海水受力所遵循的条件，称为动力学边界条件。
另外，在研究局部海区的环流时，往往还需考虑与其毗连的海水的侧向边界条件。
海水的真实运动规律是十分复杂的，实际工作中，人们往往采取各种近似或假定，对各种条件加以简化，从不同角度分别对海水运动情况进行讨论，从而阐明海水运动的基本规律。详见后述。
本文标题：海流运动方程
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