对中纬度系统而言，准地转涡度方程(4.40)式近似为

(4.71)

这里f0是常数。在绝热条件下，准地转热力学方程(4.57)式可写为

(4.72)

消去ω可得准地转位涡守恒方程

(4.73)

度是均匀的，基本气流为零，且f为常数，则q=f=常数，经过一定的空

可以从两等熵(位温)面之间的气柱高度来分析气旋的发展问题。当差为Δθ的两等位温面改变两者之间的距离时，相当于层结稳定度发生变化，根据位涡守恒从而产生涡度的变化，如图4.26

式可得流函数形式的准地转位涡守恒方程

(4.74)

(4.75)

给出q在大气中的分布以及合适的边界条件，利用方程(4.75)式可以求出Ψ，进而可求出Φ，Vg，θ等场。这就是位涡反演的原理。

对于完全的Rossby-Ertel位涡，同样存在上述原理。完全位涡方程的推导可以参见动力气象学教材(伍荣生等，1983；吕克利等，1997)，对无源、无摩擦的大气，有

(4.76)

与上面准地转位涡不同的是这里不仅考虑了气柱的伸缩，ζn、△h的同时增减，而且考虑了气柱的扭转和密度的变化作用。尽管准地转位涡(QGPV)与完全的位涡PV在数学上的联系不是非常明显，但是它们之间的物理意义相似则是非常明显的。PV也具有下面两个重要的特性：

(1)守恒性。假如运动是绝热的而且是无摩擦的，则在空气的运动过程中PV是守恒的。

(2)反演原则。给定PV的分布和合适的边界条件，并给出一定意义下的平衡条件(如地转平衡，梯度风平衡，或非线性平衡方程等)，滤除重力波和声波，则由PV可以反演出Φ，v，θ，w等场。

根据这两条原则，我们可以直接从位涡的分布而不用再从两等熵面之间的气柱变化来考虑系统变化，如图4.28

图4.28a表示正位涡异常的情形，所谓正位涡异常是指这一区域的位涡比周围空气的位涡要大，在这个区域内部，涡度和静力稳定度∝1/△h都要大一些。位涡异常对环境大气的影响是十分明显的，在位涡异常的边缘附近，等熵面距离比环境大气的等熵面要靠近一些，涡度要比科氏参数f大一些。假如纬向气流随高度增加，根据热成风关系，这会有南暖北冷的温度分布，则在位涡异常的东侧会出现上升运动，而在位涡异常的西侧会出现下沉运动(这一点可以通过ω方程推断出来)。图4.28b给出了负位涡异常对大气影响的情况。

对于位涡均匀的流体，在下边界附近若存在一个暖的位温异常的区域，在等熵面上的距离会较周围环境为大，如图4.28c，为保证位涡为常数，则在此区域必定对应一个气旋性环流；类似地，对于一个冷的位温异常的区域，在等熵面上的距离会较周围环境为小，图4.28d，则在此区域必定对应一个反气旋性环流。

以上我们分别讨论了空中的位涡异常与地面的位温异常对应的环流特征，事实上这两者之间并不是独立的。高层的发展会引起低层位温的变化，低层位温的改变又会引起高层位涡特征的改变，从而不同层次的位涡异常之间会发生相互作用。强的气旋发展往往与高低层的相互作用有关，假如在对流层顶附近有一个PV槽(位涡异常)移到地面上存在南北位温梯度的斜压区或地面锋的上方，则PV槽对应的气旋性环流使槽前产生暖平流。暖平流在地面产生位温异常，位温异常又会诱导出水平环流，暖平流西侧将产生由极地向赤道一侧的运动，因为大气位涡分布特点是极地侧大，赤道侧小；高空大，低空小，因此低层位温异常产生的向赤道侧的冷平流及其产生的下沉运动会加强高层位涡异常，高层位涡异常又将使暖平流加大，如此高低层环流会相互加强，产生气旋的自我发展过程。如图4.29所示。

以上讨论的是绝热无摩擦的情况，因而位涡和位温都是守恒的，实际大气中非绝热加热是产生位涡异常的重要原因，并会对气旋的发展产生很大影响。假如在空中某个区域有凝结潜热释放，则在该区域下方会有正位涡异常产生，而在其上方则有负位涡异常产生，这样对于中纬度低压系统来说，下层的位涡异常会形成低层的气旋性环流，而高层负位涡异常会加强高空脊的发展，从而有利于气旋的快速发展。

本节我们从不同的角度对气旋的发展问题进行了讨论，本节的开始对涡度方程各项数量大小的分析，我们知道准地转涡度方程中抓住了控制气旋发展的主要因子，Sutcliffe理论主要从涡度平流与高低层辐合辐散的关系，进而与气旋的发展联系起来；Petterssen发展理论则是在Sutcliffe理论基础上把高低层的涡度变化联系起来进行分析，这里实际上是利用的涡度平流、温度平流与散度之间的关系，把辐合辐散转换为涡度平流及温度平流来进行讨论；准地转理论则是用辐合辐散同垂直运动之间的关系，又通过ω方程将垂直运动与涡度平流和温度平流的关系来分析气旋的发展；准地转位涡方程，更是准地转涡度方程与准地转热力学方程的直接产物。