三、空间分布的“等级—大小”原则

　　任何科学理论的获得都可通过两种途径：其一是在客观世界中通过观察各种事实而作出的简单的归纳法；其二是通过抽象或假说的逻辑推断演绎法。一般说来，地理学家更喜欢归纳法，经济学家更喜欢演绎法。二者有时虽然都可称为模型，但在十分严格的意义上，我们却需要从本质上建造出堪称为理论的模型。因为在使用上述两种建造理论的方法时，还应当有可能应用实证主义或解释主义，为这种所建的理论基础添加一些更有说服力的证据。

　　前面我们针对空间充填的普遍意义及其在地理学上的成功运用(即克瑞斯泰勒的中心地理论)，除已提出了二维空间上的充填所显现出来的等级性(或称序列性)之外，还进一步提出了等级—大小关系(rank-sizerelationship)的一些事例，即随着空间充填中等级的逐级加大，引起所包含的面积变化状况。我们不止一次地指出，等级—大小关系问题是又一地理空间内普遍存在的事实，而且也为不少地理学家分别在自然地理学领域内和人文地理学领域内得到了局部结论，虽然还未被称为规律，但已成为一种人们默许的经验规则了。

　　吉弗(Zipf)曾经明确提出了等级—大小法则，而克拉克校–lark)所研究的负指数密度—距离关系，则从另外一个角度阐述了随着空间面积的变化所发生的地理事实的反应问题。以上这种经验性的结论普遍受到地理学家们的重视，曾经吸引了一大部分人进行长期研究并产生了热烈的争论。例如现代空间经济理论的创始人之一伊萨德(Isard)在1956年就指出：等级—大小法则到底在多大程度上被证实是真确的和普适的？随后，克拉克就此作了答辨，认为他提出的“负指数密度—距离”关系在任何地方和时间的研究中，均显示出其真确性。然而在当时，他还没有提供出他的观测和对事实的理论推导。到了70年代，上述法则经过地理学家们的悉心研究，已经十分接近于科学模型的要求，并作为一个理论，也已日臻成熟。与此同时，有关这一理论真确性的推导，也有了较精确的征明，这就更完善了等级—大小作为一种基础理论的地位了。

　　以下我们将以城市的等级序列分布为例，阐述这条原理的基本内容。经过发展之后的等级—大小法则认为：对于一个城市群(也称城市集合)来说，通常在一个特定的国家内超出某种规模的城市人口可表达为：

　　式中P1为该国最大城市或第一等级城市的人口；Pr为等级为r的城市人口；q为常数。

　　由上式可以得到：

logr=logP1-qlogpr (13.8)

　　根据这一公式，如果具备足够的观测资料，那么即可在双对数计算纸上得到城市等级r与该等级城市人口规模Pr之间的线性关系，该直线的斜率为-q，logP1为截矩。

　　可使用另一种方法表达前述的关系：由城市大小出发而作出的频率分布，似乎表现为一种高度斜交的方式。概率分配的整个系列组合中的每一系列，都能形成一个基本的族类，而这些族类事实上都是相同的，均为简单随机过程的稳态分布。现在让我们来考虑一个随机过程的矩阵：倘若城市每一个大小级别的概率密度函数近似地相同，那么该随机过程的稳定态，将是一种对数正态分布形式，即存在于该随机过程开始阶段的城市群和在该过程结束阶段的城市群趋于相同，并实现其一般的稳定状态。现在，随着世界各国城市化的高度发展，这种等级—大小法则的应用也日渐普遍。

　　设有一个城市，在统计意义上得到一个对于任何城市都适用的表达式：

dx=d0e-bx (13.9)

　　这是克拉克从大量的统计中导出的，式中dx为与城市中心相距x处的人口密度；d0为城市中心的人口密度；b为密度梯度。当然很容易将上式改换成：
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