2．计算网格和差分格式

    在诊断分析和数值天气预报中，经常需要计算空间导数和时间导数。计算空间导数就是用不同的差分方法，计算出网格上的导数值。不同的有限差分方法，所计算出的导数的精确度也不同。时间导数的计算在诊断分析和数值预报中完全不同。在数值预报中，将来的状态是未知的，也即要预报的，因而所设计的时间差分格式必须是计算稳定的，这样才能积分或随时间预报下去，这种与时间有关的问题需要专门的处理。而在诊断分析中，时间差分的计算要简单的多，因为用来进行时间差分计算的前后两个(或三个)时刻的变量值都是已知的，不存在时间积分及计算不稳定的问题。

    (1)计算网格的选取

    计算网格有正方形网格和经纬度网格两种。在计算范围不是很大时(例如限于我国东部平原)多采用正方形网格(如图2.14)，而计算范围较大时，多采用经纬度网格。网格距大小由资料的密度和所研究系统的尺度决定。在天气尺度的诊断分析中，格距一般取200～300km或2～3个纬距。

    (2)简单的有限差分公式及其误差分析

    ①一阶导数的差分格式

    如果在一些离散的等距网格点x=0，Δx，2Δx，3Δx，…，nΔx上给出各点的观测值，则用有限差分可以代表函数f(x)的空间导数。Δx为格点距离，在诊断计算中一般是等距的(取Δx=d)。由该变量的泰勒展开式可得

    由上式可以导出f(x)的一阶导数的三种差分方案，即

    式中下标表示网格编号。误差的量级是由截去了泰勒展开式中高阶无限小项引起，所以也叫截断误差。

    ②二阶导数的差分格式

    以类似的方法可以得到f(x)的二阶导数，即

    此差分式的误差量级是(Δx2)，写成格点坐标是

    ③拉普拉斯算子

    Δx=Δy=d时，两种五点差分格式为

    其网格分布如图2.14所示。

    ④雅可比算子

    雅可比算子J(A，B)可展开为三种微分格式，即

    在Δx=Δy=d时，上面三种雅可比算子的差分格式

    上述对误差量级的讨论都是对平均而言，事实上差分误差还依赖于所研究系统的尺度与步长的比值。设所研究系统是一系列简谐波叠加，其中某一波长为L，表达式为

    则一阶微分为

    用中央差分表示的一阶微商为

    两式相比，即得

    两者比值愈近于1，则差分与微分愈接近。由上式可得

    精确度。但是在实际工作中，由于受测站密度的限制，网格距不可能任意减小。一般当L≥10Δx时，中央差分已相当精确。但如果当Δx≥

    限差分总是近似为零。所以在一般诊断分析中，2倍格距波(即波长为所取网格的2倍)为不可分辨最大尺度，不可能在这种网格中出现。
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