3．1．4 流域发展的数学模型

　　1．地貌发育

　　 流域盆地的演化的地貌过程可归结为河道的侵蚀作用和坡面的侵蚀剥蚀过程以及构造上升，流域的演化主要由这三个因子控制．坡面地貌演化被认为是坡面物质的“扩散”过程，坡面物质从位势高的地方扩散到位势低的地方．实验研究证明，线性扩散方程适合蠕动、雨蚀和低坡的土流．除了扩散过程，流域内河道及坡面上还发生泥沙的迁移，迁移的泥沙量被记作qs

　　 由上述分析，Willgoose等(1991a，1991b)建立了下列流域演化方程

(3．1．21)

　　 式中，z为高程，t为时间，C0(x，y，t)为构造上升速度，D为扩散规律作的高地夷平作用系数，ρs为泥沙密度，ε为泥沙孔隙率，qs为单宽输沙率，并取

qs=f(θ)qmin

(3．1．22)

　　 这里q是单宽流量，i是坡面梯度(最陡坡度)，θ是参数，在河道中取θ=1，在坡面上取0＜θ＜1．进一步设流量θ与流域面积有关

　　 这里m3为参数，位于[0.5，1]．

　　为了分析流域演化，区分坡面与河道，为此引入关系

　　 当a大于某一阈值aT时，地面即被认为河道状态．函数(3．1．25)称作河道起始函数(chan-nel initiation function)．在这个模型系统中，mi，ni被认为是空间的函数，特别是x，y的函数，他们定义了地面条件．图3．1．3是一个起始地面如(a)图的流域发育系列．图3．1．4是起始条件如图3．1．3a，但地理特征各不相同的四个流域的水系发育结果(c0=常数)．需要指出的是，最初地面拗曲的存在，引导了坡面发育．取f(θ)在θ=1和0＜θ＜1时分别对应于两个不同常数，并设构造运动平静，C=0，则将(3．1．22)代入(3．1．21)式并压缩y方向，有

(3．1．26)

　　 这里m，n是类似于(3．1．8)式中m，n的参数．分析结果表明，坡面演化由坡面后退与坡面下降合成，后退速度为

　　坡面下降率为

　　2．水系发育

　　 水系是流域的重要特征．水系的发育对流域的演化有重要的意义．Kashiwaya(1987)认为水系发育有两方面的因素：首先是河道越多，它溯源侵蚀的可能性增大，这样有可能形成更长河道，使更多若干冲沟转化为河道；另一方面由于子流域的分水岭切穿，使得水系发育到一定程度会发达某种稳定状态，达到一个最大密度．因此他建议用

　　 描述水系发育过程．式中，D为水系密度，δ(t)为最大水系密度，β(t)是相对侵蚀率，它的意义是由盆地的地质条件和气候条件决定的相对侵蚀密度．令Y=D-1可以求出(3．1．29)关于初始条件D(t0)=D0的解为

(3．1．30)

　　 这里t0是初始时间，它可以是盆地形成时间，也可以是研究约定的起始时间．

　　 常见的情况是盆地土被的工程地质性质并不发生变化，所以最大水系密度可取为常数δ．气候稳定时，降水稳定，径流量稳定，侵蚀率β(t)也趋于常数β，这时有

(3．1．31)

　　 实际上由于土壤发育，盆地土被的力学性质是变化的．取δ(t)=δi+δt[1-exp(-εt)]，又由于气候波动，侵蚀率也波动，β(t)=psinqt+r，得

(3．1．32)

　　 (3．1．31)，(3．1．32)式表明水系密度以指数形式趋于稳定值，事实上，流域演化的后期，水系密度降低．上述理论由于缺少必要的动力学分析，还是粗糙的．

　　 关于水系，新近的发展认为其具有分维特征．流域具有两个特征量，流域面积与流域长度，后者是流域内河流与水道长度的总积．从量纲分析，流域面积A与流域长度L之间关系

L～Aα

(3．1．33)

　　 中α应为0.5．然而大量的统计结果发现，α＞0.5个别作者发现对大盆地来说，α的估计值出现为0.47的例外．勒长兴对一百多个盆地统计的结果发现为0.568．这种现象表明水系结构是分维的．实际上设想水系水道可以从干流一直追溯到切沟，以至于无穷小，那么水系水道布满了流域，这就意味着水系的总长度具有大于1小于2的分维数，是碎形．对于大流域来说，水道可以追溯到相当级别，所以发现α＜0.5，因水道总和维数大于1．对较小流域来说，水道占据一定面积，统计不能计入“细致结构”，这样水道维数也为“小于”1，使α＞0.5．关于α的估计，众多的地貌学者发表了不同的观点，如何认识和度量水系的分维性，正在引起越来越多的研究者的兴趣，尤其是流域演化α的演变规律，还待揭示．