一、空间充填原理

　　一个地理区域毫无疑义地可被抽象成一个二维空间的几何平面。各种地理事件(为了方便起见，可以广义地使用每种地理事件所占据的比例表达)所存在的范围或在空间内的地位，遵守着某种不依人的意志为转移的客观规则。我们在空间拓扑结构中曾讲道：作为一种结构形式的细胞型网络，每个网络所占据的范围及其与周围网络相毗邻的面积之间，应当具有密实的和妥贴的互相衔接的特性。即在互为接触的边界部分，既不可能存在边界间的空缺(即真空区)，也不可能存在边界间的重叠(即掩蔽区)。这说明地理空间的边界相接，只能是一种饱和的和精密的交界关系，不允许有丝毫的非完全充填。这个前提已为存在的事实所确认，没有必要作更进一步的推导。无论该平面上地理事件之间的交界如何复杂，上述前提是不变的，即不仅对直线交界如此，对曲线交界也仍然是真确的。

　　如行政区划的交界，实质上构成了一种多边形的空间排布格局。当然，这种多边形的边界可以是直线的，也可以是很不规则的曲线。以世界上十分年轻的国家——美国为例，各州之间的界线既有直线的，即沿着地理子午线方向的，如内华达州与犹他州的交界；也有弧线的，如怀俄明州与蒙塔拿州的交界；也有不规则的自然界线，如肯塔基州与印第安纳州的交界。更多的国家，特别是古老的国家例如中国，则以不规则的行政区划线占据绝对的地位。如果抛开这种交界的不规则曲线在形状上的千差万别，充填于二维空间上的地理内容(表现为它所占据的面积)，毫无例外地都可以表示为饱和相接的多边形。

　　有关这种空间充填问题，数学家尤拉(Euler)早已进行过研究，并总结出其配置原则。对于在一个多边体中的多边形数目(F)、边或连线的数目(E)、以及所具有的角(顶点)的数目(C)，它们之间的关系，符合于尤拉定理：

F-E C=2 (13.1)

　　于是，尤拉公式将进一步扩展到这样一个问题：什么样的等面积正多边形可以被用来完全充满一个二维空间，使这个平面上既没有面积上的重叠，也不会存在剩余空间不被充填呢？这个问题初看简单，实则是任意面积的非正多边形充填的基础。

　　满足于这个问题的解，必须服从

　　即在正多边形上每一个顶点所连接的边数(P)与这个多边形被围成时的边数(P*)，二者之间满足上述关系时才能出现所提问题的解。其计算过程为：

P=Ω/B， (13.3)

　　式中Ω为围绕顶点的圆周角，等于360°；B为正多边形一个顶角的角度。对于正三边形而言，B=60°，则

P3=360°/60°=6

　　正四边形的一个顶角B=90°，则

P4=360°/90°=4

对于正六边形的一个顶角而言，它等于120°，故

P6=360°/120°=3

　　在经过严格证明后，得出唯有正三边形(P=6，P*=3)、正四边形(P=4，P*=4)、正六边形(P=3，P*=6)才具备公式13.2所要求的条件(图13-2)。

　　由上述定理以及所举例子的实证引伸出如下的3点结论：

图13-2正三边形、正四边形与正六边形的P与P*

　　(1)等面积的正多边形与非正多边形相比，在二维空间的充填中要更为经济。比如，从一正四边形(假定面积为1公里2)的中心位置到达其最远点的移动距离为0.707公里，其周长为4公里。而相等面积的矩形，如果其两个长边为上述正方形边长的2倍(即各为2公里)，而两个宽边各为0.5公里，则从其中心到最远点的移动距离为1.031公里(比正方形多出0.324公里)，周长也由4公里变为5公里。如果从运输成本上计算的话，显然正四边形要比非正四边形的矩形经济得多。
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